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前言

今天开始挖个新坑，算法学习，希望大家和我一起学习，做大做强，因为公司变成了大小周，所以我闲下来的时间更少了，长篇爽文更新的频率可能会更低，但是我会尽量保持更新，开始本篇文章之前先和大家聊聊我近况，公司说下月给我提薪1k，然后现在开始执行大小周，本周就是大周，开始计算，周六上班算加班，给额外的加班费，这点还是比较人性化的。话不多说，今天给大家算法学习做个入门，了解一下时间复杂度。

什么是时间复杂度

简单来说就是程序运行效率的衡量,可以让我们大概知道程序跑完需要多久

常见时间复杂度计算

例子一

func(){
    a=2*2
}

这里的计算次数是1，所以时间复杂度是O(1),也就是常数复杂度

例子二

func(n){
    for(i=0;i<n;i++){
        a=2*2
    }
}

这里的计算次数是n，所以时间复杂度是O(n),也就是线性复杂度

例子三

func(n){
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=0;j<n;j++){
            a=2*2
        }
    }
}

这里的计算次数是n*n，所以时间复杂度是O(n^2)，也就是多项式复杂度,这里的多项式复杂度包含了以n为底，加一个指数数字类似O(n^3)以及更多的次数

例子四

func(n){
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=i;j<n;j++){
           a=2*2
        }
    }
}

这里的计算次数是n+(n-1)+(n-2)+…+1，等于n/2+n^2/2,在算法计算时间复杂度的时候，我们只取最高次项，并且不保留系数,所以这个算法的时间复杂度是O(n^2)

这里我们就可以引申出来一个概念，一个程序如果跑得慢的话

• 首先我们要检查时间复杂度
• 其次我们要检查系数

例子五

func(n){
    if(n<=1) return n
    return func(n-1)+func(n-1)
}

这个例子中，我们写了一个递归函数，计算了两个n-1,四个n-2,八个n-3…所以这个算法的时间复杂度是O(2^n)，也就是指数复杂度

例子六

func(n){
    if(n<=1) return n
    return func(n/2)
}

这个例子中，我们写了一个递归函数，计算了n/2,n/4,n/8…所以这个算法的时间复杂度是O(logn)，也就是对数复杂度

例子七

func(n){
    if(n<=1) return n
    let mid=n/2
    for(let i=0;i<mid;i++){
        a=2*2
    }
    func(mid)
}

这样的一个函数的时间复杂度又是多少呢?我们大概可以得到他的复杂度是n/2+n/4+n/8…,它的值是小于等于n的,所以这个算法的时间复杂度是O(n)，也就是渐进复杂度

例子八

function findIndex(array, n, x) {
  let i = 0;
  let pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

这就是我们常见的findIndex的底层逻辑,这里引入几个概念

最好情况时间复杂度

运气非常好,我们循环一次，就可以得到这个,index=0,时间复杂度是O(1)

最坏情况时间复杂度

我们需要循环n次，时间复杂度是O(n)

平均情况时间复杂度

最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度，我们需要引入另一个概念：平均情况时间复杂度

借助刚才查找变量 x 的例子来解释

要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：

(1+2+3+...+n+n)/(n+1) = n(n+3)/2(n+1) = n/2 + 3/2

这个结论虽然是正确的，但是计算过程稍微有点儿问题。究竟是什么问题呢？我们刚讲的这 n+1 种情况，出现的概率并不是一样的。我带你具体分析一下。（这里要稍微用到一点儿概率论的知识，不过非常简单，你不用担心。）
我们知道，要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便你理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
所以更加符合的计算公式是

(1+2/2n+3/2n+...+n/2n+n/2)/(n+1) = (3n+1)/4

这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。
所以这个算法的时间复杂度是O(n)

均摊时间复杂度

可以看一下这个例子

// array 表示一个长度为 n 的数组
 // 代码中的 array.length 就等于 n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }
 
    array[count] = val;
    ++count;
 }

先来解释一下这段代码。这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。

那这段代码的时间复杂度是多少呢？你可以先用我们刚讲到的三种时间复杂度的分析方法来分析一下。

最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

那平均时间复杂度是多少呢？答案是 O(1)。还是可以通过前面讲的概率论的方法来分析。

假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：

1/n+1 + 1/n+1 + 1/n+1 + ... + 1/n+1 + n/n+1 = O(1)

这里我们换个角度来看，我们可以把 O(n) 的时间(最坏情况)均摊到接下来的 n-1 次操作中。这样子，单次的时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊时间复杂度的分析方法。

结语

好了，本篇文章就分析到这里，更多内容敬请期待~